Ley de centramientos relativos de Piaget

Este señor hace algún tiempo se sacó de la manga la siguiente expresión para cuantificar la magnitud de cierto tipo de ilusiones:

$$P=\dfrac{n_l(L_1-L_2)L_2}{SL_{max}},$$ donde

$P$ denota la magnitud de la ilusión,
$L_1$ es la mayor de las dos longitudes comparadas,
$L_2$ es la menor,
$L_{max}$ es la mayor de las longitudes de la figura,
$n_l$ es la cantidad de comparaciones a hacer,
$S$ es el área total de la figura.

Hay gente que le multiplica una longitud de referencia a esto, pero la verdad no sé. Uno de estos días exhumo a Piaget y le pregunto :-P

Poquito de Trig.

Espero que no tenga errores:

$Asen^2\theta + Bcos^2\theta + Csen\theta cos\theta=A(\frac{1-cos2\theta}{2})+B(\frac{1+cos2\theta}{2})+C(\frac{sen2\theta}{2}).$

Suponiendo que $tan2\theta = \frac{A-B}{C}$, tenemos $sen2\theta = tan2\theta cos2\theta = cos2\theta \frac{A-B}{C}$.

Sustituyendo:

$A(\frac{1-cos2\theta}{2})+B(\frac{1+cos2\theta}{2})+C(\frac{sen2\theta}{2}) = \frac{A- Acos2\theta + B +Bcos2\theta + C\frac{cos2\theta(A-B)}{C}}{2}$ $=\frac{A + B}{2}$.

EDIT: Estúpidamente, supuse que $tan2\theta = \frac{A-B}{C}$, pero debe ser $tan2\theta =\frac{-C}{B-A}= \frac{C}{A-B}$. No sirve de nada esto.

EDIT 2: De todas maneras, el error no era tan trágico. Todo antes de la sustitución de $tan2\theta$ no se ve afectado, por lo que haciendo la sustitución correcta, $sen2\theta = tan2\theta cos2\theta = cos2\theta \frac{C}{A-B}$, tenemos:

$= \frac{1}{2}(A+B-Acos2\theta+Bcos2\theta+C\frac{C}{A-B}cos2\theta)$ $= \frac{1}{2}(A+B+cos2\theta(-A+B+C\frac{C}{A-B})).$

Ahora, para cualquier $x\neq k\frac{\pi}{2}$, $cosx=\sqrt{\frac{1}{tan^2 x +1}}$, por lo que lo anterior es igual a

$= \frac{1}{2}(A+B+\sqrt{\frac{1}{tan^2 2\theta +1}}(-A+B+C\frac{C}{A-B})).$

Como $tan2\theta$ ya se puede poner en términos de $A,B,C$, todo queda en términos de letras, como queríamos (y creo que no se ve tan grotesco... eso, o ya estoy acostumbrado a pura obscenidad, jajaja).

Laberinto

Este laberinto está interesante:

Teoremilla sobre las derivadas de Dini

Si $F$ es continua en $[a,b]$, entonces las cotas de las derivadas de Dini son iguales a las cotas del cociente $\dfrac{F(x)-F(y)}{x-y}$, con $x,y\in [a,b]$.

Problemillas

Rato de no escribir por aquí. Pongo algunos problemas misceláneos interesantes pa' entretenerse un rato (algunos son teoremas conocidos, pero probarlos siempre es interesante):

• Sea $f: \mathbb{C} \longrightarrow\mathbb{C}\quad $ una función entera. Entonces si $f\quad$ no es constante, $f(\mathbb{C})=\mathbb{C}\quad$ o $f(\mathbb{C})=\mathbb{C}-{z}\quad$, con $z$ algún punto del plano complejo.
• Sean $a,b>0$. Entonces $a^b+b^a>1$.
• ¿Es $\mathbb{C}$ isomorfo como grupo con la suma usual a $\mathbb{R}$ como grupo con la suma usual?
• Este tiene algo de chiste: ¿es $\text{Sen}(1)$ irracional? ¿trascendente?
• Este está loquísimo: Es sencillo construir en el plano dos subconjuntos abiertos conexos que tengan la misma frontera, ¿se pueden construir familias de tres o más subconjuntos abiertos conexos que tengan la misma frontera?
  

Bastante chidos.

Curvas que pasen por n puntos

Usando el orden lexicográfico, se puede probar que dados $n$ puntos distintos en el plano, existe al menos una curva suave (o al menos continua) que pase por ellos sin que se autointersecte. Existen otras maneras de hacerlo, apoyándose por ejemplo de las curvas de Peano o de Hilbert.

¿Será que haya alguna prueba de la existencia de dichas curvas sin necesidad de construirlas? Tiene pinta de que sí, pero nomás no doy con una.