Problemillas

Rato de no escribir por aquí. Pongo algunos problemas misceláneos interesantes pa' entretenerse un rato (algunos son teoremas conocidos, pero probarlos siempre es interesante):

• Sea $f: \mathbb{C} \longrightarrow\mathbb{C}\quad $ una función entera. Entonces si $f\quad$ no es constante, $f(\mathbb{C})=\mathbb{C}\quad$ o $f(\mathbb{C})=\mathbb{C}-{z}\quad$, con $z$ algún punto del plano complejo.
• Sean $a,b>0$. Entonces $a^b+b^a>1$.
• ¿Es $\mathbb{C}$ isomorfo como grupo con la suma usual a $\mathbb{R}$ como grupo con la suma usual?
• Este tiene algo de chiste: ¿es $\text{Sen}(1)$ irracional? ¿trascendente?
• Este está loquísimo: Es sencillo construir en el plano dos subconjuntos abiertos conexos que tengan la misma frontera, ¿se pueden construir familias de tres o más subconjuntos abiertos conexos que tengan la misma frontera?
  

Bastante chidos.