jueves, 16 de diciembre de 2010
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Pos esto ya se estabilizó un poco, y voy a estar usando MathJax que es el que ha respondido "más mejor" de todos, jaja.
miércoles, 15 de diciembre de 2010
Subbases de topologías
Hay veces en las que describir una topología completa es complicado. Por ejemplo, en el caso de los reales los abiertos forman una familia inmensa de subconjuntos muy difícil de describir por sí mismos, pero que es sencilla de describir cuando los vemos como si fueran "generados" por una familia más pequeña (los intervalos abiertos) mediante algunas operaciones de conjuntos (uniones arbitrarias e intersecciones finitas).
Dada una topología $\mathcal{T}$ de un conjunto $X$, una subbase $\mathcal{S}$ para $\mathcal{T}$ es una familia $\lbrace S_\alpha\rbrace$ de subconjuntos de $X$ que satisface que cualquier conjunto en $\mathcal{T}$ se puede expresar como uniones de intersecciones finitas de elementos de $\mathcal{S}$. Adicionalmente le pediremos a la subbase que cubra a $X$ (esto es, que X\subseteq\cup S_\alpha), pa' que sea consistente todo esto con la def. que manejamos de topología.
Esto de las subbases, como mencionaba, facilitan la descripción de topologías, porque se puede verificar fácilmente que, dada una familia de conjuntos $\mathcal{S}$ que cubre a $X$, la topología que generan es única. Hay que notar que al revés no tiene por qué pasar esto: una topología puede tener varias subbases distintas. De hecho, estas observaciones nos permiten decir que cualquier familia de subconjuntos que cubran a $X$ es una subbase (de alguna topología).
Pidiendo un poco más de estructura, podemos definir lo que es una base (de alguna topología). Una base $\mathcal{B}$ es una familia de subconjuntos $\lbrace B_\gamma\rbrace$ de $X$ que lo cubren que satisface que, dados $B_{\gamma_1},B_{\gamma_2}\in \mathcal{B}$ y $x\in B_{\gamma_1}\cap B_{\gamma_2}$, existe $B_{\gamma_3}\in \mathcal{B}$ tal que $x\in B_{\gamma_3}$ y $B_{\gamma_3}\subseteq B_{\gamma_1}\cap B_{\gamma_2}$.
Dada una base, definimos a la topología generada por ella como la colección de subconjuntos de $X$ que pueden ser escritos como uniones de elementos de dicha base. De nuevo, esta topología es única.
Espero que ahora el ejemplo mencionado tenga más sentido: para describir la topología usual de los números reales, basta decir que es la generada por los intervalos abiertos. En este caso, la familia de toooodos los intervalos abiertos de $\mathbb{R}$ es una base (y, como cualquier base claramente es una subbase, es una subbase).
El caminito para irse de una subbase a una base es muy simple: para, dada una subbase, llegar a una base, consideramos simplemente a la familia de tooodas las posibles intersecciones finitas de elementos de la subbase. Y listo.
Bueno, como sugerencia para las verificaciones: es suficiente notar que las topologías generadas para bases y subbases son las intersecciones de las topologías que contienen a esas familias de conjuntos. En este sentido se parecen a la noción de "generar" que se tiene tanto con grupos, espacios vectoriales, álgebras, etc.
Dada una topología $\mathcal{T}$ de un conjunto $X$, una subbase $\mathcal{S}$ para $\mathcal{T}$ es una familia $\lbrace S_\alpha\rbrace$ de subconjuntos de $X$ que satisface que cualquier conjunto en $\mathcal{T}$ se puede expresar como uniones de intersecciones finitas de elementos de $\mathcal{S}$. Adicionalmente le pediremos a la subbase que cubra a $X$ (esto es, que X\subseteq\cup S_\alpha), pa' que sea consistente todo esto con la def. que manejamos de topología.
Esto de las subbases, como mencionaba, facilitan la descripción de topologías, porque se puede verificar fácilmente que, dada una familia de conjuntos $\mathcal{S}$ que cubre a $X$, la topología que generan es única. Hay que notar que al revés no tiene por qué pasar esto: una topología puede tener varias subbases distintas. De hecho, estas observaciones nos permiten decir que cualquier familia de subconjuntos que cubran a $X$ es una subbase (de alguna topología).
Pidiendo un poco más de estructura, podemos definir lo que es una base (de alguna topología). Una base $\mathcal{B}$ es una familia de subconjuntos $\lbrace B_\gamma\rbrace$ de $X$ que lo cubren que satisface que, dados $B_{\gamma_1},B_{\gamma_2}\in \mathcal{B}$ y $x\in B_{\gamma_1}\cap B_{\gamma_2}$, existe $B_{\gamma_3}\in \mathcal{B}$ tal que $x\in B_{\gamma_3}$ y $B_{\gamma_3}\subseteq B_{\gamma_1}\cap B_{\gamma_2}$.
Dada una base, definimos a la topología generada por ella como la colección de subconjuntos de $X$ que pueden ser escritos como uniones de elementos de dicha base. De nuevo, esta topología es única.
Espero que ahora el ejemplo mencionado tenga más sentido: para describir la topología usual de los números reales, basta decir que es la generada por los intervalos abiertos. En este caso, la familia de toooodos los intervalos abiertos de $\mathbb{R}$ es una base (y, como cualquier base claramente es una subbase, es una subbase).
El caminito para irse de una subbase a una base es muy simple: para, dada una subbase, llegar a una base, consideramos simplemente a la familia de tooodas las posibles intersecciones finitas de elementos de la subbase. Y listo.
Bueno, como sugerencia para las verificaciones: es suficiente notar que las topologías generadas para bases y subbases son las intersecciones de las topologías que contienen a esas familias de conjuntos. En este sentido se parecen a la noción de "generar" que se tiene tanto con grupos, espacios vectoriales, álgebras, etc.
lunes, 13 de diciembre de 2010
Topología
Una cosa muy interesante en mates es que muchas veces cosas que hay se pueden generalizar. Por ejemplo: Cuando trabajamos con $\mathbb{R}^n$ estamos acostumbrados a tener nociones de "forma", "distancia", y así. Podemos hacer dibujitos que representen a nuestros conjuntos, vaya.
Todo este asunto se puede abstraer mucho en el contexto de teoría de conjuntos. Dado un conjunto $X$ y una familia $\mathcal{T}$ de subconjuntos de $X$ decimos que $\mathcal{T}$ es una topología de $X$ si satisface tres cosas:
* $X,\emptyset\in \mathcal{T}$
* Para cualquier familia $\lbrace X_{\alpha}\rbrace \subseteq \mathcal{T}$, $\cup X_{\alpha}\in\mathcal{T}$
* Para cualquier familia finita $\lbrace X_1,\ldots,X_n\rbrace\subseteq \mathcal{T}$, $\displaystyle\cap_{i=1}^{n} X_i \in \mathcal{T}$
y ya. A la pareja $(X,\mathcal{T})$ se le llama usualmente un espacio topológico. Cualquier conjunto $A\in\mathcal{T}$ es llamado un conjunto abierto de $X$ (respecto a la topología $\mathcal{T}$).
Es verdaderamente increíble, por su simpleza, que esto es más general que la noción de distancia, entre otras cosas: cualquier métrica induce una topología, pero no cualquier topología viene de una métrica.
Ejemplos de espacios topológicos:
* $\mathbb{R}$, cuando consideramos a la familia de intervalos abiertos, todas sus uniones y todas las intersecciones finitas.
* Más generalmente, cualquier espacio métrico es un espacio topológico.
* Dado cualquier conjunto, uno puede definir una topología simplemente considerando al conjunto completo y al conjunto vacío, esta topología usualmente es llamada " topología trivial".
* De manera similar, dado cualquier conjunto $X$, la familia de todos los subconjuntos de $X$ define una topología, llamada "topología discreta".
Estos dos últimos ejemplos ilustran que un mismo conjunto $X$ puede tener más de una topología.
Una manera de pensar en los conjuntos abiertos de $X$ es como conjuntos que pueden distinguir entre puntos de $X$. Por ejemplo, con la topología trivial mencionada los abiertos "ven" muy poca estructura de $X$, porque no distinguen a los puntos. Con la discreta, es posible incluso reconstruir el conjunto original pieza a pieza, aunque este exceso de información reduce su utilidad un poco.
De hecho, existen nociones de cuándo una topología es más "gruesa" o "fina" que otra: cuando una topología contiene a otra decimos que es más fina, y si está contenida en otra decimos que es más gruesa. La razón por la que se dan estos nombres es porque la topología que es más fina puede distinguir más puntos que la otra (puesto que tiene más abiertos).
Luego escribo sobre más ejemplos y algunas propiedades básicas.
Todo este asunto se puede abstraer mucho en el contexto de teoría de conjuntos. Dado un conjunto $X$ y una familia $\mathcal{T}$ de subconjuntos de $X$ decimos que $\mathcal{T}$ es una topología de $X$ si satisface tres cosas:
* $X,\emptyset\in \mathcal{T}$
* Para cualquier familia $\lbrace X_{\alpha}\rbrace \subseteq \mathcal{T}$, $\cup X_{\alpha}\in\mathcal{T}$
* Para cualquier familia finita $\lbrace X_1,\ldots,X_n\rbrace\subseteq \mathcal{T}$, $\displaystyle\cap_{i=1}^{n} X_i \in \mathcal{T}$
y ya. A la pareja $(X,\mathcal{T})$ se le llama usualmente un espacio topológico. Cualquier conjunto $A\in\mathcal{T}$ es llamado un conjunto abierto de $X$ (respecto a la topología $\mathcal{T}$).
Es verdaderamente increíble, por su simpleza, que esto es más general que la noción de distancia, entre otras cosas: cualquier métrica induce una topología, pero no cualquier topología viene de una métrica.
Ejemplos de espacios topológicos:
* $\mathbb{R}$, cuando consideramos a la familia de intervalos abiertos, todas sus uniones y todas las intersecciones finitas.
* Más generalmente, cualquier espacio métrico es un espacio topológico.
* Dado cualquier conjunto, uno puede definir una topología simplemente considerando al conjunto completo y al conjunto vacío, esta topología usualmente es llamada " topología trivial".
* De manera similar, dado cualquier conjunto $X$, la familia de todos los subconjuntos de $X$ define una topología, llamada "topología discreta".
Estos dos últimos ejemplos ilustran que un mismo conjunto $X$ puede tener más de una topología.
Una manera de pensar en los conjuntos abiertos de $X$ es como conjuntos que pueden distinguir entre puntos de $X$. Por ejemplo, con la topología trivial mencionada los abiertos "ven" muy poca estructura de $X$, porque no distinguen a los puntos. Con la discreta, es posible incluso reconstruir el conjunto original pieza a pieza, aunque este exceso de información reduce su utilidad un poco.
De hecho, existen nociones de cuándo una topología es más "gruesa" o "fina" que otra: cuando una topología contiene a otra decimos que es más fina, y si está contenida en otra decimos que es más gruesa. La razón por la que se dan estos nombres es porque la topología que es más fina puede distinguir más puntos que la otra (puesto que tiene más abiertos).
Luego escribo sobre más ejemplos y algunas propiedades básicas.
viernes, 10 de diciembre de 2010
Nueva prueba del latex
A ver si esta cosa también soporta entornos más gruexos. Las relaciones de Adem están dadas por
\[
\displaystyle Sq^a Sq^b = \sum_{j} \dbinom {b-1-j}{a-2j} Sq^{a+b-j}Sq^j.
\]
\[
\displaystyle Sq^a Sq^b = \sum_{j} \dbinom {b-1-j}{a-2j} Sq^{a+b-j}Sq^j.
\]
martes, 7 de diciembre de 2010
Prueba del codecogs :-P
Sea $x\in G$, con $G$ un grupo. Entonces el orden de $x$ divide al orden de $G$.
El azotón reloaded
Pos reviví el azotón para poder poner cosas altamente más nerds de las que corresponden al refrigerio (igual y pondré unas ahí pero el enfoque será puro nerdismo de mates aquí... espero).
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