Subbases de topologías

Hay veces en las que describir una topología completa es complicado. Por ejemplo, en el caso de los reales los abiertos forman una familia inmensa de subconjuntos muy difícil de describir por sí mismos, pero que es sencilla de describir cuando los vemos como si fueran "generados" por una familia más pequeña (los intervalos abiertos) mediante algunas operaciones de conjuntos (uniones arbitrarias e intersecciones finitas).

Dada una topología $\mathcal{T}$ de un conjunto $X$, una subbase $\mathcal{S}$ para $\mathcal{T}$ es una familia $\lbrace S_\alpha\rbrace$ de subconjuntos de $X$ que satisface que cualquier conjunto en $\mathcal{T}$ se puede expresar como uniones de intersecciones finitas de elementos de $\mathcal{S}$. Adicionalmente le pediremos a la subbase que cubra a $X$ (esto es, que X\subseteq\cup S_\alpha), pa' que sea consistente todo esto con la def. que manejamos de topología.

Esto de las subbases, como mencionaba, facilitan la descripción de topologías, porque se puede verificar fácilmente que, dada una familia de conjuntos $\mathcal{S}$ que cubre a $X$, la topología que generan es única. Hay que notar que al revés no tiene por qué pasar esto: una topología puede tener varias subbases distintas. De hecho, estas observaciones nos permiten decir que cualquier familia de subconjuntos que cubran a $X$ es una subbase (de alguna topología).

Pidiendo un poco más de estructura, podemos definir lo que es una base (de alguna topología). Una base $\mathcal{B}$ es una familia de subconjuntos $\lbrace B_\gamma\rbrace$ de $X$ que lo cubren que satisface que, dados $B_{\gamma_1},B_{\gamma_2}\in \mathcal{B}$ y $x\in B_{\gamma_1}\cap B_{\gamma_2}$, existe $B_{\gamma_3}\in \mathcal{B}$ tal que $x\in B_{\gamma_3}$ y $B_{\gamma_3}\subseteq B_{\gamma_1}\cap B_{\gamma_2}$.

Dada una base, definimos a la topología generada por ella como la colección de subconjuntos de $X$ que pueden ser escritos como uniones de elementos de dicha base. De nuevo, esta topología es única.

Espero que ahora el ejemplo mencionado tenga más sentido: para describir la topología usual de los números reales, basta decir que es la generada por los intervalos abiertos. En este caso, la familia de toooodos los intervalos abiertos de $\mathbb{R}$ es una base (y, como cualquier base claramente es una subbase, es una subbase).

El caminito para irse de una subbase a una base es muy simple: para, dada una subbase, llegar a una base, consideramos simplemente a la familia de tooodas las posibles intersecciones finitas de elementos de la subbase. Y listo.

Bueno, como sugerencia para las verificaciones: es suficiente notar que las topologías generadas para bases y subbases son las intersecciones de las topologías que contienen a esas familias de conjuntos. En este sentido se parecen a la noción de "generar" que se tiene tanto con grupos, espacios vectoriales, álgebras, etc.