Topología

Una cosa muy interesante en mates es que muchas veces cosas que hay se pueden generalizar. Por ejemplo: Cuando trabajamos con $\mathbb{R}^n$ estamos acostumbrados a tener nociones de "forma", "distancia", y así. Podemos hacer dibujitos que representen a nuestros conjuntos, vaya.

Todo este asunto se puede abstraer mucho en el contexto de teoría de conjuntos. Dado un conjunto $X$ y una familia $\mathcal{T}$ de subconjuntos de $X$ decimos que $\mathcal{T}$ es una topología de $X$ si satisface tres cosas:

* $X,\emptyset\in \mathcal{T}$
* Para cualquier familia $\lbrace X_{\alpha}\rbrace \subseteq \mathcal{T}$, $\cup X_{\alpha}\in\mathcal{T}$
* Para cualquier familia finita $\lbrace X_1,\ldots,X_n\rbrace\subseteq \mathcal{T}$, $\displaystyle\cap_{i=1}^{n} X_i \in \mathcal{T}$


y ya. A la pareja $(X,\mathcal{T})$ se le llama usualmente un espacio topológico. Cualquier conjunto $A\in\mathcal{T}$ es llamado un conjunto abierto de $X$ (respecto a la topología $\mathcal{T}$).

Es verdaderamente increíble, por su simpleza, que esto es más general que la noción de distancia, entre otras cosas: cualquier métrica induce una topología, pero no cualquier topología viene de una métrica.

Ejemplos de espacios topológicos:

* $\mathbb{R}$, cuando consideramos a la familia de intervalos abiertos, todas sus uniones y todas las intersecciones finitas.
* Más generalmente, cualquier espacio métrico es un espacio topológico.
* Dado cualquier conjunto, uno puede definir una topología simplemente considerando al conjunto completo y al conjunto vacío, esta topología usualmente es llamada " topología trivial".
* De manera similar, dado cualquier conjunto $X$, la familia de todos los subconjuntos de $X$ define una topología, llamada "topología discreta".


Estos dos últimos ejemplos ilustran que un mismo conjunto $X$ puede tener más de una topología.

Una manera de pensar en los conjuntos abiertos de $X$ es como conjuntos que pueden distinguir entre puntos de $X$. Por ejemplo, con la topología trivial mencionada los abiertos "ven" muy poca estructura de $X$, porque no distinguen a los puntos. Con la discreta, es posible incluso reconstruir el conjunto original pieza a pieza, aunque este exceso de información reduce su utilidad un poco.

De hecho, existen nociones de cuándo una topología es más "gruesa" o "fina" que otra: cuando una topología contiene a otra decimos que es más fina, y si está contenida en otra decimos que es más gruesa. La razón por la que se dan estos nombres es porque la topología que es más fina puede distinguir más puntos que la otra (puesto que tiene más abiertos).

Luego escribo sobre más ejemplos y algunas propiedades básicas.