An exercise.

Exercise. Consider $\mathbb{R}^{\infty}=\bigcup_n \mathbb{R}^n$ with the colimit topology: $U\subseteq \mathbb{R}^{\infty}$ is open if and only if $U\cap \mathbb{R}^n$ is open for all $n$. Prove that if $C\subseteq \mathbb{R}^{\infty}$ is compact, then $C\subseteq\mathbb{R}^n$ for some $n\in\mathbb{N}$.

Proof. Let $\mathbb{R}^{\omega}$ be the product of countably many copies of $\mathbb{R}$. Note that we can identify $\mathbb{R}^{\infty}$ with the set $$A=\lbrace (x_1,x_2,\ldots)\in\mathbb{R}^{\omega} \,|\, \exists n\in \mathbb{N} \text{ such that }x_i=0\text{ for all }i\geq n\rbrace .$$

Consider the box topology on $\mathbb{R}^{\omega}$, $\tau_{box}$, and let $\tau_{sub}$ be the subspace topology on $\mathbb{R}^{\infty}$. Let us denote by $\tau_{col}$ the colimit topology on $\mathbb{R}^{\infty}$. It is clear that each element of the usual basis of $\tau_{sub}$ (inherited from $\tau_{box}$) is an element of $\tau_{col}$, thus $\tau_{sub}\subseteq \tau_{col}$.

Define a function $$i:\mathbb{R}^{\infty}\rightarrow\mathbb{N}$$ given by $$i(x)= \text{ Index of rightmost non-zero entry of }x.$$ We will now proceed by contradiction. Suppose that $C$ is not contained in any $\mathbb{R}^n$. With this assumption, we can find a sequence of elements $\lbrace x_n\rbrace_{n\geq 1} \subseteq C$ such that $i(x_n)<i(x_{n+1})$ $\forall$ $n\in \mathbb{N}$.

Put $i_l=i(x_l)$, $i_0=0$, and $p_l=|\pi_{i_l}(x_l)|$, where $\pi_{i}$ denotes the projection on the $i$-th coordinate, and define $$I=\prod_{l=1}^\infty\prod_{j={i_{l-1}}+1}^{i_l}(-\frac{p_l}{2},\frac{p_l}{2})\subset \mathbb{R}^{\omega},$$which belongs to $\tau_{box}$. Note that since $p_l$ is the rightmost (non-zero) entry of $x_l$ and it is in the $i_l$ coordinate, then $x_l\notin I$ $\forall$ $l$. Now, for each $n\in \mathbb{N}$, define the set $$\bar{U}_n=\prod_{j=1}^{n}\mathbb{R}\times \prod_{j=n+1} I_j,$$ where $I_j$ denotes the set $\pi_j(I)$. $\bar{U}_n$ belongs to $\tau_{box}$, so the sets $U_n:=\bar{U}_n \cap \mathbb{R}^{\infty}$ belong to $\tau_{sub}$. Therefore $U_n\in \tau_{col}$ $\forall$ $n\in \mathbb{N}$. Note that for each $n$, only a finite number of the elements $x_l$ belong to $U_n$.

Clearly, $\lbrace U_n \rbrace_{n\geq 1} $ is an open cover of $C$, and since $C$ is compact we can find a large enough $N\in \mathbb{N}$ such that $C\subseteq \bigcup_{n=1}^N U_n=U_N$, but there is still an infinite number elements of our sequence $\lbrace x_l\rbrace\subseteq C$ not in $U_N$, which is a contradiction. This finishes the proof.

Ley de centramientos relativos de Piaget

Este señor hace algún tiempo se sacó de la manga la siguiente expresión para cuantificar la magnitud de cierto tipo de ilusiones:

$$P=\dfrac{n_l(L_1-L_2)L_2}{SL_{max}},$$ donde

$P$ denota la magnitud de la ilusión,
$L_1$ es la mayor de las dos longitudes comparadas,
$L_2$ es la menor,
$L_{max}$ es la mayor de las longitudes de la figura,
$n_l$ es la cantidad de comparaciones a hacer,
$S$ es el área total de la figura.

Hay gente que le multiplica una longitud de referencia a esto, pero la verdad no sé. Uno de estos días exhumo a Piaget y le pregunto :-P

Poquito de Trig.

Espero que no tenga errores:

$Asen^2\theta + Bcos^2\theta + Csen\theta cos\theta=A(\frac{1-cos2\theta}{2})+B(\frac{1+cos2\theta}{2})+C(\frac{sen2\theta}{2}).$

Suponiendo que $tan2\theta = \frac{A-B}{C}$, tenemos $sen2\theta = tan2\theta cos2\theta = cos2\theta \frac{A-B}{C}$.

Sustituyendo:

$A(\frac{1-cos2\theta}{2})+B(\frac{1+cos2\theta}{2})+C(\frac{sen2\theta}{2}) = \frac{A- Acos2\theta + B +Bcos2\theta + C\frac{cos2\theta(A-B)}{C}}{2}$ $=\frac{A + B}{2}$.

EDIT: Estúpidamente, supuse que $tan2\theta = \frac{A-B}{C}$, pero debe ser $tan2\theta =\frac{-C}{B-A}= \frac{C}{A-B}$. No sirve de nada esto.

EDIT 2: De todas maneras, el error no era tan trágico. Todo antes de la sustitución de $tan2\theta$ no se ve afectado, por lo que haciendo la sustitución correcta, $sen2\theta = tan2\theta cos2\theta = cos2\theta \frac{C}{A-B}$, tenemos:

$= \frac{1}{2}(A+B-Acos2\theta+Bcos2\theta+C\frac{C}{A-B}cos2\theta)$ $= \frac{1}{2}(A+B+cos2\theta(-A+B+C\frac{C}{A-B})).$

Ahora, para cualquier $x\neq k\frac{\pi}{2}$, $cosx=\sqrt{\frac{1}{tan^2 x +1}}$, por lo que lo anterior es igual a

$= \frac{1}{2}(A+B+\sqrt{\frac{1}{tan^2 2\theta +1}}(-A+B+C\frac{C}{A-B})).$

Como $tan2\theta$ ya se puede poner en términos de $A,B,C$, todo queda en términos de letras, como queríamos (y creo que no se ve tan grotesco... eso, o ya estoy acostumbrado a pura obscenidad, jajaja).

Laberinto

Este laberinto está interesante:

Teoremilla sobre las derivadas de Dini

Si $F$ es continua en $[a,b]$, entonces las cotas de las derivadas de Dini son iguales a las cotas del cociente $\dfrac{F(x)-F(y)}{x-y}$, con $x,y\in [a,b]$.

Problemillas

Rato de no escribir por aquí. Pongo algunos problemas misceláneos interesantes pa' entretenerse un rato (algunos son teoremas conocidos, pero probarlos siempre es interesante):

• Sea $f: \mathbb{C} \longrightarrow\mathbb{C}\quad $ una función entera. Entonces si $f\quad$ no es constante, $f(\mathbb{C})=\mathbb{C}\quad$ o $f(\mathbb{C})=\mathbb{C}-{z}\quad$, con $z$ algún punto del plano complejo.
• Sean $a,b>0$. Entonces $a^b+b^a>1$.
• ¿Es $\mathbb{C}$ isomorfo como grupo con la suma usual a $\mathbb{R}$ como grupo con la suma usual?
• Este tiene algo de chiste: ¿es $\text{Sen}(1)$ irracional? ¿trascendente?
• Este está loquísimo: Es sencillo construir en el plano dos subconjuntos abiertos conexos que tengan la misma frontera, ¿se pueden construir familias de tres o más subconjuntos abiertos conexos que tengan la misma frontera?
  

Bastante chidos.

Curvas que pasen por n puntos

Usando el orden lexicográfico, se puede probar que dados $n$ puntos distintos en el plano, existe al menos una curva suave (o al menos continua) que pase por ellos sin que se autointersecte. Existen otras maneras de hacerlo, apoyándose por ejemplo de las curvas de Peano o de Hilbert.

¿Será que haya alguna prueba de la existencia de dichas curvas sin necesidad de construirlas? Tiene pinta de que sí, pero nomás no doy con una.

Powered by mathjax

Pos esto ya se estabilizó un poco, y voy a estar usando MathJax que es el que ha respondido "más mejor" de todos, jaja.

Subbases de topologías

Hay veces en las que describir una topología completa es complicado. Por ejemplo, en el caso de los reales los abiertos forman una familia inmensa de subconjuntos muy difícil de describir por sí mismos, pero que es sencilla de describir cuando los vemos como si fueran "generados" por una familia más pequeña (los intervalos abiertos) mediante algunas operaciones de conjuntos (uniones arbitrarias e intersecciones finitas).

Dada una topología $\mathcal{T}$ de un conjunto $X$, una subbase $\mathcal{S}$ para $\mathcal{T}$ es una familia $\lbrace S_\alpha\rbrace$ de subconjuntos de $X$ que satisface que cualquier conjunto en $\mathcal{T}$ se puede expresar como uniones de intersecciones finitas de elementos de $\mathcal{S}$. Adicionalmente le pediremos a la subbase que cubra a $X$ (esto es, que X\subseteq\cup S_\alpha), pa' que sea consistente todo esto con la def. que manejamos de topología.

Esto de las subbases, como mencionaba, facilitan la descripción de topologías, porque se puede verificar fácilmente que, dada una familia de conjuntos $\mathcal{S}$ que cubre a $X$, la topología que generan es única. Hay que notar que al revés no tiene por qué pasar esto: una topología puede tener varias subbases distintas. De hecho, estas observaciones nos permiten decir que cualquier familia de subconjuntos que cubran a $X$ es una subbase (de alguna topología).

Pidiendo un poco más de estructura, podemos definir lo que es una base (de alguna topología). Una base $\mathcal{B}$ es una familia de subconjuntos $\lbrace B_\gamma\rbrace$ de $X$ que lo cubren que satisface que, dados $B_{\gamma_1},B_{\gamma_2}\in \mathcal{B}$ y $x\in B_{\gamma_1}\cap B_{\gamma_2}$, existe $B_{\gamma_3}\in \mathcal{B}$ tal que $x\in B_{\gamma_3}$ y $B_{\gamma_3}\subseteq B_{\gamma_1}\cap B_{\gamma_2}$.

Dada una base, definimos a la topología generada por ella como la colección de subconjuntos de $X$ que pueden ser escritos como uniones de elementos de dicha base. De nuevo, esta topología es única.

Espero que ahora el ejemplo mencionado tenga más sentido: para describir la topología usual de los números reales, basta decir que es la generada por los intervalos abiertos. En este caso, la familia de toooodos los intervalos abiertos de $\mathbb{R}$ es una base (y, como cualquier base claramente es una subbase, es una subbase).

El caminito para irse de una subbase a una base es muy simple: para, dada una subbase, llegar a una base, consideramos simplemente a la familia de tooodas las posibles intersecciones finitas de elementos de la subbase. Y listo.

Bueno, como sugerencia para las verificaciones: es suficiente notar que las topologías generadas para bases y subbases son las intersecciones de las topologías que contienen a esas familias de conjuntos. En este sentido se parecen a la noción de "generar" que se tiene tanto con grupos, espacios vectoriales, álgebras, etc.

Topología

Una cosa muy interesante en mates es que muchas veces cosas que hay se pueden generalizar. Por ejemplo: Cuando trabajamos con $\mathbb{R}^n$ estamos acostumbrados a tener nociones de "forma", "distancia", y así. Podemos hacer dibujitos que representen a nuestros conjuntos, vaya.

Todo este asunto se puede abstraer mucho en el contexto de teoría de conjuntos. Dado un conjunto $X$ y una familia $\mathcal{T}$ de subconjuntos de $X$ decimos que $\mathcal{T}$ es una topología de $X$ si satisface tres cosas:

* $X,\emptyset\in \mathcal{T}$
* Para cualquier familia $\lbrace X_{\alpha}\rbrace \subseteq \mathcal{T}$, $\cup X_{\alpha}\in\mathcal{T}$
* Para cualquier familia finita $\lbrace X_1,\ldots,X_n\rbrace\subseteq \mathcal{T}$, $\displaystyle\cap_{i=1}^{n} X_i \in \mathcal{T}$


y ya. A la pareja $(X,\mathcal{T})$ se le llama usualmente un espacio topológico. Cualquier conjunto $A\in\mathcal{T}$ es llamado un conjunto abierto de $X$ (respecto a la topología $\mathcal{T}$).

Es verdaderamente increíble, por su simpleza, que esto es más general que la noción de distancia, entre otras cosas: cualquier métrica induce una topología, pero no cualquier topología viene de una métrica.

Ejemplos de espacios topológicos:

* $\mathbb{R}$, cuando consideramos a la familia de intervalos abiertos, todas sus uniones y todas las intersecciones finitas.
* Más generalmente, cualquier espacio métrico es un espacio topológico.
* Dado cualquier conjunto, uno puede definir una topología simplemente considerando al conjunto completo y al conjunto vacío, esta topología usualmente es llamada " topología trivial".
* De manera similar, dado cualquier conjunto $X$, la familia de todos los subconjuntos de $X$ define una topología, llamada "topología discreta".


Estos dos últimos ejemplos ilustran que un mismo conjunto $X$ puede tener más de una topología.

Una manera de pensar en los conjuntos abiertos de $X$ es como conjuntos que pueden distinguir entre puntos de $X$. Por ejemplo, con la topología trivial mencionada los abiertos "ven" muy poca estructura de $X$, porque no distinguen a los puntos. Con la discreta, es posible incluso reconstruir el conjunto original pieza a pieza, aunque este exceso de información reduce su utilidad un poco.

De hecho, existen nociones de cuándo una topología es más "gruesa" o "fina" que otra: cuando una topología contiene a otra decimos que es más fina, y si está contenida en otra decimos que es más gruesa. La razón por la que se dan estos nombres es porque la topología que es más fina puede distinguir más puntos que la otra (puesto que tiene más abiertos).

Luego escribo sobre más ejemplos y algunas propiedades básicas.

Nueva prueba del latex

A ver si esta cosa también soporta entornos más gruexos. Las relaciones de Adem están dadas por

\[
\displaystyle Sq^a Sq^b = \sum_{j} \dbinom {b-1-j}{a-2j} Sq^{a+b-j}Sq^j.
\]

Prueba del codecogs :-P

Sea $x\in G$, con $G$ un grupo. Entonces el orden de $x$ divide al orden de $G$.

El azotón reloaded

Pos reviví el azotón para poder poner cosas altamente más nerds de las que corresponden al refrigerio (igual y pondré unas ahí pero el enfoque será puro nerdismo de mates aquí... espero).