Poquito de Trig.

Espero que no tenga errores:

$Asen^2\theta + Bcos^2\theta + Csen\theta cos\theta=A(\frac{1-cos2\theta}{2})+B(\frac{1+cos2\theta}{2})+C(\frac{sen2\theta}{2}).$

Suponiendo que $tan2\theta = \frac{A-B}{C}$, tenemos $sen2\theta = tan2\theta cos2\theta = cos2\theta \frac{A-B}{C}$.

Sustituyendo:

$A(\frac{1-cos2\theta}{2})+B(\frac{1+cos2\theta}{2})+C(\frac{sen2\theta}{2}) = \frac{A- Acos2\theta + B +Bcos2\theta + C\frac{cos2\theta(A-B)}{C}}{2}$ $=\frac{A + B}{2}$.

EDIT: Estúpidamente, supuse que $tan2\theta = \frac{A-B}{C}$, pero debe ser $tan2\theta =\frac{-C}{B-A}= \frac{C}{A-B}$. No sirve de nada esto.

EDIT 2: De todas maneras, el error no era tan trágico. Todo antes de la sustitución de $tan2\theta$ no se ve afectado, por lo que haciendo la sustitución correcta, $sen2\theta = tan2\theta cos2\theta = cos2\theta \frac{C}{A-B}$, tenemos:

$= \frac{1}{2}(A+B-Acos2\theta+Bcos2\theta+C\frac{C}{A-B}cos2\theta)$ $= \frac{1}{2}(A+B+cos2\theta(-A+B+C\frac{C}{A-B})).$

Ahora, para cualquier $x\neq k\frac{\pi}{2}$, $cosx=\sqrt{\frac{1}{tan^2 x +1}}$, por lo que lo anterior es igual a

$= \frac{1}{2}(A+B+\sqrt{\frac{1}{tan^2 2\theta +1}}(-A+B+C\frac{C}{A-B})).$

Como $tan2\theta$ ya se puede poner en términos de $A,B,C$, todo queda en términos de letras, como queríamos (y creo que no se ve tan grotesco... eso, o ya estoy acostumbrado a pura obscenidad, jajaja).